что такое поле комплексных чисел

04.12.202326.04.2022 admin 0 Comments

Поле комплексных чисел

Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Сложение и вычитание в поле комплексных чисел

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:

а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: ;

б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ; нулевой элемент обозначается просто символом нуль ;

г) для каждого комплексного числа существует противоположный ему элемент

Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел и называется комплексное число

Умножение и деление в поле комплексных чисел

Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:

в) существует единичный элемент ; единичный элемент обозначается просто символом единица: ;

Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).

Частным двух чисел и называется комплексное число

Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:

Таким образом, множество комплексных чисел является полем.

Решение. По определению операций получаем

Сопряженные числа в поле комплексных чисел

Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:

Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:

Решение. Пусть — корень уравнения. Тогда

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем

3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что

Источник

Введение в комлексные числа

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

Умножение выполняется вот так:

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉

Источник

Поле комплексных чисел

Теорема 1. Множество комплексных чисел С с операциями сложения и умножения образует поле. Свойства сложения

1) Коммутативность:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+bi).

2) Ассоциативность :[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)].

3) Существование нейтрального элемента:(a+bi)+(0+0i)=(a+bi). Число 0+0i будем называть нулём и обозначать 0.

4) Существование противоположного элемента: (a+bi)+(–a–bi)=0+0i=0.

5) Коммутативность умножения: (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i=(c+di)(a+bi).

6) Ассоциативность умножения:если z₁=a+bi, z₂=c+di, z₃=e+fi, то (z₁z₂)z₃ =z₁(z₂z₃).

7) Дистрибутивность: если z₁=a+bi, z₂=c+di, z₃=e+fi, то z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.

8) Нейтральный элемент для умножения:(a+bi)(1+0i)=(a·1–b·0)+(a·0+b·1)i=a+bi.

9) Число 1+0i=1 – единица.

Если b=0, то z=a+ 0i=a– действительное число. Поэтому множество действительных чисел Rявляется частью множества комплексных чисел C: R Í C.

Заметим: i 2 =(0+1i)(0+1i)=–1+0i=–1. Используя это свойство числа i, а также свойства операций, доказанные в теореме 1, можно выполнять действия с комплексными числами по обычным правилам, заменяя i 2 на –1.

2 Тригонометрическая форма записи.

Запись z = a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Рассмотрим плоскость с выбранной декартовой системой координат. Будем изображать число z точкой с координатами (a, b). Тогда действительные числа a=a+0i будут изображаться точками оси OX – она называется действительной осью. Ось OY называется мнимой осью, её точки соответствуют числам вида bi, которые иногда называют чисто мнимыми. Вся плоскость называется комплексной плоскостью.Число называется модулем числа z: ,

Полярный угол j называется аргументом числа z: j=argz.

Аргумент определяется с точностью до слагаемого 2kp; значение, для которого –p

Источник

Глава 5. Поле комплексных чисел С

Непустое множество К с бинарными операциями сложения и умножения называется полем(числовым полем), если выполнены следующие аксиомы:

0) Бинарные операции сложения и умножения являются замкнутыми.

1) Бинарные операции сложения и умножения являются коммутативными

2) Бинарные операции являются ассоциативными:

3) Имеет место закон дистрибутивности умножения относительно сложения.

4) Каждый ненулевой элемент имеет себе обратный, и каждый элемент имеет себе противоположный.

5) Общая группа аксиом связанных с другими свойствами элементов.

Рассмотрим поле действительных чисел R и на его основе рассмотрим множество всевозможных, упорядоченных пар вида (а,0) для которых выполняются законы:

3) Роль единичного элемента играет пара вида , а нулевого

Получается множество, состоящее из объектов отличных от действительных чисел, для которых выполнены все законы действительных чисел (включая законы 1-3 выше)

Таким образом поле действительных чисел R и новое множество являются изоморфными.

Теперь рассмотри множество всех упорядоченных пар вида

Возникает вопрос, будет ли данное множество изоморфно множеству чисел R.

Такое множество найти МОЖНО. (Он сам велел дофига знаков поставить)

Нужно лишь для пар определить законы:

4) Роль единичного элемента играет пара вида , а нулевого

5) Особую роль единичного элемента играет пара вида (0;1)

Перемножим

То есть квадрат элемента (0;1) равен отрицательному числу..(. )

Поэтому пара (0;1) обозначается I и называется «мнимой единицей» для которой имеет место

Множество всех упорядоченных пар образуют множество (с учетом законов 1-5), изоморфное множеству действительных чисел. Получившееся новое множество называется поле комплексных чисел С.

Алгебраическая форма комплексного числа

Модули комплексного числа z называется величина

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z

Теорема об отношениях сравнения на поле комплексных чисел С:

Поле комплексных чисел не является упорядоченным, то есть сравнивать 2 комплексных числа с помощью бинарного отношения типа сравнения (

Источник

Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексным числом zназ. выражение , где а и в – вещественные числа, i – мнимая единица или специальный знак.

При этом выполняются соглашения:

1) с выражением a+bi можно производить арифметические операции по правилам, которые приняты для буквенных выражений в алгебре;

5) равенство a+bi=c+di, где a, b, c, d – действительные числа, имеет место тогда и только тогда, когда a=c и b=d.

Число 0+bi=bi называется мнимым или чисто мнимым.

Любое действительное число а есть частный случай комплексного числа, ведь его можно записать в виде a=a+ 0i. В частности, 0=0+0i, но тогда ели a+bi=0, то a+bi=0+0i, следовательно, a=b=0.

Т.о., комплексное число a+bi=0 тогда и только тогда, когда a=0 и b=0.

Из соглашений следуют законы преобразования комплексных чисел:

Мы видим, что сумма, разность, произведение и частное (где делитель не равен нулю) комплексных чисел, в свою очередь комплексное число.

Число а наз. вещественной частью комплексного числа z (обозначается ), в – мнимая часть комплексного числа z (обозначается ).

Комплексное число z с нулевой вещественной частью наз. чисто мнимым, с нулевой мнимой – чисто вещественным.

Два комплексных числа наз.равными,если у них совпадают и вещественная и мнимая части.

Два комплексных числа наз. сопряженными, если у них веществ. части совпадают, а мнимые отличаются знаками. , то сопряженное к нему .

Сумма сопряженных чисел есть число веществ, а разность чисто мнимое число. На множестве комплексных чисел естественным образом определены операции умножения и сложения чисел. Именно, если и — два комплексных числа, то сумма: ; произведение: .

Определим теперь операции вычитания и деления.

Заметим, что произведение двух комплексных чисел есть число веществ.

(т.к. i=-1). Это число наз. квадратом модуля числа . Т.о., если число , то его модуль есть вещественное число.

(деление на 0 запрещено)

В отличие от вещественных чисел для комплексных чисел не вводится понятие «больше», «меньше».

Геометрическое представление комплексных чисел.Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулемкомплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Тригонометрическая формакомплексного числа. Наряду с записью комплексного числа в алгебраической форме также употребляется и другая, называемая тригонометрической.

Пусть комплексное число z=a+bi изображается вектором ОА с координатами (a,b). Обозначим длину вектора ОА буковой r: r=|ОА|, а угол, который он образует с положительным направлением оси Ох – через угол φ.

Воспользовавшись определениями функций sinφ=b/r, cosφ=a/r, комплексное число z=a+bi можно записать в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где , а угол φ определяется из условий

Тригонометрической формой комплексного числа z называется его представление в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где r и φ – действительные числа и r≥0.

Действительно число r называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а угол φ – аргументом комплексного числа z. Аргумент φ комплексного числа z обозначается Arg z.

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме:

Это знаменитая формула Муавра.

8.Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов

Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям:

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x+0=x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х+у =0,

6) α(βx)=(αβ)х (ассоциативность умножения), где произведение αβ есть произведение скаляров

7) (α+β)х=αх+βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) α(х+у)=αх+αу(распределительное свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям 1-8.

Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Теорема “Простейшие свойства векторных пространств”

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или .

4. .

Док-во

Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть – еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае , а во втором – . Тогда и , откуда следует, что , ч.т.д.

Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует 0*х=0

Теперь докажем утверждение 4). Пусть – произвольный вектор. Тогда

Отсюда сразу же следует, что вектор (-1)х является противоположным вектору х.

Пусть теперь х=0. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, и получаем:

Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует или 1*х=0 или х=0

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно-зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что (1)

Система из k векторов называется линейно-независимой, если равенство (1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1) тривиальная.

Замечания:

1. Один вектор тоже образует систему: при линейно-зависимую, а при линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно-зависима.

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно-зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно-зависима.

4. Система из k>1 векторов линейно-зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно-независимую систему, образуют линейно-независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно-зависимую подсистему, линейно-зависима.

7. Если система векторов линейно-независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно-зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Тогда из равенства получаем .

Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Ранг и базис системы векторов. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов системы.

Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Док-во:

Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор — из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .

2 случай. Вектор — не из базиса. Тогда r>k.

Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как — базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, с, не все равные нулю, такие, что